## Pythagoras theorem, demonstration – one of many

Posted in Math Theory by Lia on 06/01/2017

## Below is one of the many of Pythagoras Theorem proofs:

### In between the two squares are four equal right triangles.

$\Delta&space;\textbf{A}_{\textbf{1}}\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{D}_{\textbf{2}}\textbf{=}\Delta&space;\textbf{B}_{\textbf{1}}\textbf{B}_{\textbf{2}}\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{=}\Delta&space;\textbf{C}_{\textbf{1}}\textbf{C}_{\textbf{2}}\textbf{B}_{\textbf{2}}\textbf{=}\Delta&space;\textbf{D}_{\textbf{1}}\textbf{D}_{\textbf{2}}\textbf{C}_{\textbf{2}}$

### From above drawing it can be seen that:

${\color{Blue}&space;\textbf{[}}{\color{Blue}&space;\textbf{1}}{\color{Blue}&space;\textbf{]}}\:&space;\:&space;\textbf{Area}_{\textbf{A}_{\textbf{1}}\textbf{B}_{\textbf{1}}\textbf{C}_{\textbf{1}}\textbf{D}_{\textbf{1}}}\textbf{=}\textbf{Area}_{\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{B}_{\textbf{2}}\textbf{C}_{\textbf{2}}\textbf{D}_{\textbf{2}}}\textbf{+}$ $\textbf{4}*\textbf{Area}_\Delta_{\textbf{A}_{\textbf{1}}\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{D}_{\textbf{2}}$

### But:

$\textbf{Area}_{\textbf{A}_{\textbf{1}}\textbf{B}_{\textbf{1}}\textbf{C}_{\textbf{1}}\textbf{D}_{\textbf{1}}}\textbf{=}\textbf{(}\textbf{A}_{\textbf{1}}\textbf{B}_{\textbf{1}}\textbf{)}^{\textbf{2}}\textbf{=}\textbf{(b+c)}^{\textbf{2}}$

$\textbf{Area}_{\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{B}_{\textbf{2}}\textbf{C}_{\textbf{2}}\textbf{D}_{\textbf{2}}}\textbf{=}\textbf{(}\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{B}_{\textbf{2}}\textbf{)}^{\textbf{2}}\textbf{=}\textbf{a}^{\textbf{2}}$

$\textbf{Area}_{\Delta&space;\textbf{A}_{\textbf{1}}\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{D}_{\textbf{2}}}\textbf{=}\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}*\textbf{(}\textbf{A}_{\textbf{1}}\textbf{A}_{\textbf{2}}\textbf{)}*\textbf{\textbf{(}A}_{\textbf{1}}\textbf{D}_{\textbf{2}}\textbf{)}\textbf{=}\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}\textbf{bc}$

### therefore, [1] becomes:

${\color{Blue}&space;\textbf{[2]}}\:&space;\:&space;\textbf{(b+c)}^{\textbf{2}}\textbf{=}\textbf{a}^{\textbf{2}}\textbf{+}\textbf{4}*\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}\textbf{bc}\:&space;\Rightarrow&space;\:&space;\textbf{b}^{\textbf{2}}+\textbf{2bc}&space;+\textbf{c}^{\textbf{2}}\textbf{=}\textbf{a}^{\textbf{2}}\textbf{+}\textbf{2bc}\:&space;\Rightarrow&space;\:&space;\textbf{b}^{\textbf{2}}&space;+\textbf{c}^{\textbf{2}}\textbf{=}\textbf{a}^{\textbf{2}}$

### This means that:

 $\textbf{b}^{\textbf{2}}&space;+\textbf{c}^{\textbf{2}}\textbf{=}\textbf{a}^{\textbf{2}}$  (Pythagoras Theorem for the shown triangles)

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